M Samsul Mughis
PEMBAHASAN
KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL
1. Kuartil
Istilah
kuartil dalam kehidupan kita sehari-hari lebih dikenal dengan istilah kuartal.
Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau
nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama
besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. jadi disini akan kita jumpai tiga buah
kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga
(Q3). Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data
yang kita selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar
¼ N.[1]
Jalan pikiran serta metode yang digunakan adalah sebagaimana yang telah
kita lakukan pada saat kita menghitung median. Hanya saja, kalau median membagi
seluruh distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar, maka kuartil
membagiseluruh distribusi data menjadi empat bagian yang samabesar.
Jika kita perhatikan pada
kurva tadi, maka dapat ditarik pengertian bahwa Q2 adalah sama dengan
Median(2/4 N=1/2 N).
Untuk mencari Q1,Q2 dan Q3 digunakan rumus sebagai berikut:
v untuk data tunggal
Qn = 1 + ( n/4N-fkb)
fi
v untuk data kelompok
Qn = 1 + (n/4N-fkb)x i
Fi
Qn = kuartil yang ke-n. karena titik kuartil ada tiga
buah, maka n dapat diisi dengan bilangan: 1,2, dan 3.
1 = lower limit ( batas bawah
nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).
N= Number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor
atau interval yang mengandung Qn.
Fi= frekuensi aslinya (yaitu frekuensi dari skor atau
interval yang mengandung Qn).
i= interval class atau kelas
interval.[2]
Catatan: - istilah skor
berlaku untuk data tunggal.
- istilah interval
berlaku untuk data kelompok.
Berikut ini
akan dikemukakan masing-masing sebuah contoh perhitungan kuartil ke-1, ke-2,
dan ke-3 untuk data yang tunggal dan kelompok.
1). Contoh perhitungan kuartil
untuk data tunggal
Misalkan dari 60 orang siswa MAN Jurusan IPA diperoleh nilai hasil EBTA bidang
studi Fisika sebagaimana tertera pada table distribusi frekuensi berikut ini.
Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3 (artinya data tersebut akan kita bagi
dalam empat bagian yang sama besar), maka proses perhitungannya adalah sebagai
berikut:
Table 3.11. Distribusi
frekuensi nilai hasil Ebta dalam bidang studi fisika dari 60 orang siswa MAN
jurusan ipa, dan perhitungan Q1, Q2, dan Q3.
Jika kita perhatikan pada kurva tadi, maka dapat ditarik pengertian bahwa Q2 adalah sama dengan Median(2/4 N=1/2 N).
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
.
|
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
|
2
2
3
5
F1 (8)
10
F1 (12)
F1 (6)
5
4
2
1
|
60= N
58
56
53
48
40
30
18
12
7
3
1
|
Ø Titik Q1= 1/4N = ¼ X 60 = 15 ( terletak pada skor 39). Dengan
demikian dapat kita ketahui: 1= 38,50; fi = 6; fkb = 12
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb) = 38,50
+(15-12)
Fi
6
= 38,50 +0,50
= 39
Ø
Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 60 = 30 ( terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi = 12; fkb = 18
Q2 = 1 + ( n/4N-fkb) = 39,50
+(30-18)
Fi
12
= 39,50 +1,0
= 40,50
Ø
Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 60 = 45 ( terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi = 8; fkb = 40
Q3 = 1 + ( n/4N-fkb)
= 41,50 +(45-40)
Fi
8
= 41,50+
0,625
= 42,125
2). Contoh perhitungan kuartil
untuk data kelompok
Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam
bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi
beikut ini ( lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka
proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Ø Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39).
Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)
Xi = 34,50 +(20-13) X5
Fi
7
= 34,50 +5
= 39,50
Ø Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49).
Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)
Xi = 44,50 +(40-35) X5
Fi
17
= 44,50 +1.47
= 45,97
Ø Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59).
Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.
Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)
Xi = 54,50 +(55-59) X5
Fi
7
= 54,50 + 0,71
= 55,21
Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA
bidang studi tata buku dari 80 orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan
Q1,Q2, dan Q3.
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
|
Total
|
80= N
|
-
|
Diantara kegunaan kuartil adalah
untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva. Dalam hal
ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut:
1). Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka
kurvanya adalah kurva normal.
2). Jika Q3-Q2 > Q2- Q1
maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling positif).
3). Jika Q3-Q2 < Q2- Q1
maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling negatif).
2. Desil
Desil ialah titik atau skor atau
nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke
dalam 10 bagian yang sama besar, yang masing-masing sebesar 1/10 N. jadi disini
kita jumpai sebanyak 9 buah titik desil, dimana kesembilan buah titik desil itu
membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam 10 bagian yang sama besar.[3]
Lambing dari desil adalah D.
jadi 9 buah titik desil dimaksud diatas adalah titik-titik: D1, D2, D3, D4, D5,
D6, D7, D8, dan D9.
Perhatikanlah kurva dibawah ini:
Untuk mencari desil, digunakan rumus sebagai berikut:
Dn= 1 +(n/10N – fkb)
Fi
Untuk data kelompok:
Dn= 1+ (n/10N- fkb) xi
Fi
Dn= desil yang ke-n (disini n dapat diisi dengan
bilangan:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9.
1= lower limit( batas bawah
nyata dari skor atau interval yang mengandung desil ke-n).
N= number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang
terletak dibawah skor atau interval yang mengandung desil ke-n.
Fi= frekuensi dari skor atau interval yang mengandung
desil ke-n, atau frekuensi aslinya.
i=interval class atau kelas
interval.
1). Contoh perhitungan desil
untuk data tunggal
Misalkan kita ingin mencari desil ke-1, ke-5, dan ke-9 atau D1, D5, dan D9 dari
data yang tertera pada table yang telah dihitung Q1, Q2, dan Q3-nya itu.
Ø Mencari D1:
Titik D1=
1/10N= 1/10X60= 6 (terletak pada skor 37). Dengan demikian dapat kita ketahui:
1= 5,50; fi= 4, dan fkb= 3.
D1= 1 + (1/10N-fkb)
---D1=36,50 (6-3)
Fi
4
= 36,25
Ø Mencari D5:
Titik D5=
5/10N= 5/10X60= 30 (terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui:
1= 39,50; fi= 12, dan fkb= 18.
D1= 1 + (5/10N-fkb)
---D1=39,50 (30-18)
Fi
12
= 40,50
Ø Mencari D9:
Titik D9=
9/10N= 9/10X60= 54 (terletak pada skor 44). Dengan demikian dapat kita ketahui:
1= 43,50; fi= 3, dan fkb= 53.
D1= 1 + (9/10N-fkb)
---D1= 43,50 (54-53)
Fi
3
= 43,17
Tabel 3.13. Perhitungan desil
ke-1, desil ke-5 dan desil ke-9 dari data yang tertera pada table
(diatas) kuartil.
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
|
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
|
2
2
3
5
8
10
12
6
5
4
2
1
|
60= N
58
56
53
48
40
30
18
12
7
3
1
|
2). Contoh perhitungan desil
untuk data kelompok
Misalkan kita ingin mencari D3 dan D7 dari data yang tercantum pada table 3.12,
proses perhitungannya adalah sebagai berikut:
Table 3.14. Perhitungan desil
ke-3 dan desil ke-7 dari data yang tertera pada table 3.12.
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
|
Total
|
80= N
|
-
|
Ø Mencari D3:
Titik D3=
3/10N= 3/10X80= 24 (terletak pada interval 40-44). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20.
D3= 1 + (3/10N-fkb)
xi=39,50 (24-20) x 5
Fi
15
= 39,50+ 20= 39,50 + 1,33= 40,83
15
Ø Mencari D7:
Titik D7=
7/10N= 7/10X80= 56 (terletak pada interval 50-54). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 49,50; fi= 7, dan fkb= 52.
D7= 1 + (7/10N-fkb)
xi=49,50 (50-54) x 5
Fi
7
= 49,50+ 20= 49,50 + 2,86= 40,83
7
Diantara kegunaan desil ialah untuk menggolongkan-golongkan suatu distribusi
data ke dalam sepuluh bagian yang sama besar, kemudian menempatkan
subjek-subjek penelitian ke dalam sepuluh golongan tersebut.
3. Persentil
Persentil yang biasa dilambangkan P,
adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian
yang sama besar. Karena itu persentil sering disebut ukuran perseratusan.[4]
Titik yang membagi
distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar itu ialah titik-titik:
P1, P2, P3, P4, P5, P6, … dan seterusnya, sampai dengan P99. jadi disini kita
dapati sebanyak 99 titik persentil yang membagi seluruh distribusi data ke
dalam seratus bagian yang sama besar, masing-masing sebesar 1/ 100N atau 1%,
seperti terlihat pada kurva dibawah ini:
Untuk mencari persentil digunakan rumus sebagai berikut:
Untuk data tunggal:
Pn= 1 +(n/10N – fkb)
Fi
Untuk data kelompok:
Pn= 1+ (n/10N- fkb) xi
Fi
Pn= persentil yang ke-n
(disini n dapat diisi dengan bilangan-bilangan:1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya
sampai dengan 99.
1= lower limit( batas bawah
nyata dari skor atau interval yang mengandung persentil ke-n).
N= number of cases.
Fkb= frekuensi kumulatif yang
terletak dibawah skor atau interval yang mengandung persentil ke-n.
Fi= frekuensi dari skor atau interval yang mengandung
persentil ke-n, atau frekuensi aslinya.
i= interval class atau kelas interval.
Tabel. 3.15. Perhitungan
persentil ke-5, persentil ke-20 dan persentil ke-75 dari data yang tertera pada
tabel 3.13.
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
|
Total
|
80= N
|
-
|
1) Contoh perhitungan desil
untuk data tunggal
Misalkan kita ingin mencari persentil ke-5 (P5), persentil ke-20 (P20), dan
ke-75 (P75),dari data yang disajikan pada tabel 3.13 yang telah dihitung
desilnya itu. Cara menghitungnya adalah sebagai berikut:
Ø Mencari persentil ke-5 (P5):
Titik P5=
5/10N= 5/10X60= 3 (terletak pada skor 36). Dengan demikian dapat kita ketahui:
1= 35,50; fi= 2, dan fkb= 1.
P5= 1 + (5/10N-fkb)
=36,50 +(3-1)
Fi
2
= 36,50
Ø Mencari persentil ke-75 (P75):
Titik P75=
75/10N= 75/10X60= 45 (terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita
ketahui: 1= 41,50; fi= 8, dan fkb= 40
P75= 1 + (75/10N-fkb)
=41,50 +(45-40)
Fi
8
= 42,125
2). Cara mencari persentil
untuk data kelompok
Misalkan kembali ingin kita cari P35 dan P95 dari data yang disajikan pada
tabel 3.14.
Ø
Mencari persentil ke-35 (P35):
Titik P35= 35/100N= 35/100X80= 28
(terletak pada interval 40-44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50;
fi= 15, dan fkb= 20, i=5
P35= 1 + (35/100N-fkb)
Xi =39,50 +(45-40) X 5
Fi
8
= 39,50+2,67
= 42,17
Ø Mencari persentil ke-95 (P95):
Titik P95=
95/100N= 95/100X80= 76 (terletak pada interval 65-69). Dengan demikian dapat
kita ketahui: 1= 64,50; fi= 5, dan fkb= 72, i=5
P95= 1 + (95/100N-fkb)
Xi =64,50 +(65-69) X 5
Fi
5
= 64,50+4
= 68,50
Tabel 3.16. Perhitungan
persentil ke-35 dan persentil ke-95 dari data yang tertera pada tabel 3.14.
|
Nilai (x)
|
F
|
Fkb
|
|
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
|
3
5
6
7
7
17
15
7
6
5
2
|
80
77
72
66
59
52
35
20
13
7
2
|
|
Total
|
80= N
|
-
|
Kegunaan persentil dalam dunia pendidikan adalah:
- Untuk mengubah rawa score (raw data) menjadi standard score (nilai standar).
Dalam dunia pendidikan, salah
satu standard score yang sering digunakan adalah eleven points scale ( skala
sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of eleven (nilai standard
sebelas) yang lazim disingkat dengan stanel.
Pengubahan dari raw score menjadi
stanel itu dilakukan dengan jalan menghitung: P1- P3- P8- P21- P39- P61- P79-
P92- P97- dan P99.
Jika data yang kita hadapi berbentuk
kurva normal (ingat: norma atau standar selalu didasarkan pada kurva normal
itu), maka dengan 10 titik persentil tersebut diatas akan diperoleh nilai-nilai
standar sebanyak 11 buah, yaitu nilai-nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan
10.
- Persentil dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik, yaitu: pada persentil keberapakah anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya.
- Persentil juga dapat digunakan sebagai alat untuk menetapkan nilai batas lulus pada tes atau seleksi.
Misalkan sejumlah 80 orang individu seperti yang
tertera pada tabel 3.16. itu hanya akan diluluskan 4 orang saja (=4/ 80 X 100%=
5%) dan yang tidak akan diluluskan adalah 76 orang (= 76X80 X 100%=95%), hal
ini berarti bahwa P95 adalah batas nilai kelulusan. Mereka yang nilai-nilainya
berada pada P95 kebawah, dinyatakan tidak lulus, sedangkan diatas P95
dinyatakan lulus. Dalam perhitungan diatas telah kita peroleh P95= 68,50;
berarti yang dapat diluluskan adalah mereka yang nilainya diatas 68,50 yaitu
nilai 69 ke atas.
4. Saling hubungan antara kuartil, desil, dan persentil.
Sebelum mengakhiri pembicaraan tentang kuartil, desil, dan persentil perlu
kiranya ditambahkan bahwa diantara ketiga ukuran statistic tersebut terdapat
saling hubungan, seperti terlihat dibawah ini:
- P90 = D9
- P80 = D8
- P75 = Q3
- P70 = D7
- P60 = D6
- P50 = D5 = Q2 = Median
- P40 = D4
- P30 = D3
- P25 = Q1
- P20 = D2
- P10 = D1
